设函数f(x)对于任意xy∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时,f(x)＜0,f(1)=2.1.证明f(x)为奇函数2.若f(2x+5)+f(6-7x)＞4,求x取值范围.函数f(x)=ax^2-2ax+2+b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2,求ab的值

Question

设函数f(x)对于任意x y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时,f(x)＜0,f(1)=2.
1.证明f(x)为奇函数
2.若f(2x+5)+f(6-7x)＞4,求x取值范围.
函数f(x)=ax^2-2ax+2+b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2,求a b的值

Answer 1

1、证明：x=y=0,代入式子f(0+0)=f(0)+f(0)得到,f(0)=0
再令y=-x代入得到f(0)=f(x)+f(-x)=0
得到f(-x)=-f(x),该函数为奇函数.
2、f(2x+5)+f(6-7x)=f(2x+5+6-7x)=f(11-5x)=f(1)+f(10-5x)=2+f(10-5x)=2+f(1+9-5x)=2+2+f(9-5x)>4
得到f(9-5x)>0
又有x＞0时,f(x)＜0和函数是奇函数
所以9-5x9/5
3、f(x)=ax^2-2ax+2+b=a(x-1)^2-a+b
当a>0时,在（1,正无穷）递增,f(2)=b最小值
f(3)=3a+b最大值
当a