已知函数f（x）=2x-1的反函数为y=f-1（x），记g（x）=f-1（x-1）．（1）求函数y=2f-1（x）-g（x）的最小值；（2）若函数F（x）=2f-1（x+m）-g（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求实数m的取值

Question

已知函数f（x）=2^x-1的反函数为y=f^-1（x），记g（x）=f^-1（x-1）．
（1）求函数y=2f^-1（x）-g（x）的最小值；
（2）若函数F（x）=2f^-1（x+m）-g（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=2^x-1得x=log₂（y+1），即f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1）
g（x）=f^-1（x-1）=log₂x，（x＞0）
∴函数y=2f^-1（x）-g（x）=2log₂（x+1）-log₂x=log2((x+1)2)/(x)=log2(x2+2x+1)/(x)=log2(x+(1)/(x)+2)，
∵x＞0，∴x+(1)/(x)+2≥4，当且仅当x=1时取等号，
∴函数y=2f^-1（x）-g（x）的最小值为：log₂4=2．
（2）由f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1）得，
函数F（x）=2f^-1（x+m）-g（x）=2log₂（x+m+1）-log₂x…（8分）
∴F（x）=log2((x+m+1)2)/(x)=log2[x+((m+1)2)/(x)+2(m+1)]，
在区间[1，+∞）上是单调递增函数需满足：当x≥1时，x+m+1＞0，即m＞-2…（10分）
[|m+1|，+∞）⊆[1，+∞）…（12分），
即|m+1|≤1⇔-2≤m≤0，…（13分），
∴-2＜m≤0…（14分）