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已知函数f(x)=2x-1的反函数为y=f-1(x),记g(x)=f-1(x-1).(1)求函数y=2f-1(x)-g(x)的最小值;(2)若函数F(x)=2f-1(x+m)-g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求实数m的取值
题目详情
已知函数f(x)=2x-1的反函数为y=f-1(x),记g(x)=f-1(x-1).
(1)求函数y=2f-1(x)-g(x)的最小值;
(2)若函数F(x)=2f-1(x+m)-g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求实数m的取值范围.
(1)求函数y=2f-1(x)-g(x)的最小值;
(2)若函数F(x)=2f-1(x+m)-g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求实数m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)由f(x)=2x-1得x=log2(y+1),即f-1(x)=log2(x+1)(x>-1)
g(x)=f-1(x-1)=log2x,(x>0)
∴函数y=2f-1(x)-g(x)=2log2(x+1)-log2x=log2
=log2
=log2(x+
+2),
∵x>0,∴x+
+2≥4,当且仅当x=1时取等号,
∴函数y=2f-1(x)-g(x)的最小值为:log24=2.
(2)由f-1(x)=log2(x+1)(x>-1)得,
函数F(x)=2f-1(x+m)-g(x)=2log2(x+m+1)-log2x…(8分)
∴F(x)=log2
=log2[x+
+2(m+1)],
在区间[1,+∞)上是单调递增函数需满足:当x≥1时,x+m+1>0,即m>-2…(10分)
[|m+1|,+∞)⊆[1,+∞)…(12分),
即|m+1|≤1⇔-2≤m≤0,…(13分),
∴-2<m≤0…(14分)
g(x)=f-1(x-1)=log2x,(x>0)
∴函数y=2f-1(x)-g(x)=2log2(x+1)-log2x=log2
(x+1)2 |
x |
x2+2x+1 |
x |
1 |
x |
∵x>0,∴x+
1 |
x |
∴函数y=2f-1(x)-g(x)的最小值为:log24=2.
(2)由f-1(x)=log2(x+1)(x>-1)得,
函数F(x)=2f-1(x+m)-g(x)=2log2(x+m+1)-log2x…(8分)
∴F(x)=log2
(x+m+1)2 |
x |
(m+1)2 |
x |
在区间[1,+∞)上是单调递增函数需满足:当x≥1时,x+m+1>0,即m>-2…(10分)
[|m+1|,+∞)⊆[1,+∞)…(12分),
即|m+1|≤1⇔-2≤m≤0,…(13分),
∴-2<m≤0…(14分)
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