设函数f（x）的定义域为A，值域为B，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍然是B，那么称函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换．（1）判断下列函数x=g（t）是不是函数

Question

设函数f（x）的定义域为A，值域为B，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍然是B，那么称函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换．
（1）判断下列函数x=g（t）是不是函数f（x）的一个等值域变换？说明你的理由．
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t²-2t+3，t∈R；
②f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）设函数f(x)＝log2(x2−x+1)，g（t）=at²+2t+1，若函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）①函数f（x）=2x+1，x∈R的值域为R，
∵x=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，
∴y=f（g（t））=2[（t-1）²+2]+1≥5，
所以，x=g（t）不是f（x）的一个等值域变换
②f(x)＝x2−x+1＝(x−(1)/(2))2+(3)/(4)≥(3)/(4)，
即f（x）的值域为[(3)/(4)，+∞)，
当t∈R时，f(g(t))＝(2t−(1)/(2))2+(3)/(4)≥(3)/(4)，
即y=f（g（t））的值域仍为[(3)/(4)，+∞)，
所以x=g（t）是f（x）的一个等值域变换；
（2）由x²-x+1＞0解得x∈R
函数f(x)＝log2(x2−x+1)＝log2[(x−(1)/(2))2+(3)/(4)]≥log2(3)/(4)
即f（x）的值域为[log2(3)/(4)，+∞)
①若a＞0，函数g（t）=at²+2t+1有最小值1−(1)/(a)，
只需1−(1)/(a)≤(1)/(2)，即0＜a≤2，
就可使函数y=f（g（t））的值域仍为[log2(3)/(4)，+∞)
②若a=0，函数g（t）=at²+2t+1=2t+1，的值域为R，
函数y=f（g（t））的值域仍为[log2(3)/(4)，+∞)
③若a＜0，函数g（t）=at²+2t+1，有最大值1−(1)/(a)
只需1−(1)/(a)≥(1)/(2)，即a＜0，
就可使函数y=f（g（t））的值域仍为[log2(3)/(4)，+∞)
综上可知：实数a的取值范围为（-∞，2]．