第一题是:∫sinx/(1+sinx)dx第二题是:∫x(arctanx)^2dx

Question

第一题是:
∫sinx/(1+sinx)dx
第二题是:
∫x(arctanx)^2 dx

Answer 1

1.sinx/(1+sinx)=cos(pi/2-x)/(1+cos(pi/2-x))
=[2cos^2(pi/4-x/2)-1]/[2cos^2(pi/4-x/2)]
=1-1/2*[1/cos^2(pi/4-x/2)]
我们知道上式前面积分为x+C,
后面为-1/2tan(pi/4-x/2)+C,因此
原题=x-1/2tan(pi/4-x/2)+C
2.∫x(arctanx)^2 dx=∫(arctanx)^2 d(1/2*x^2)
=1/2*x^2*(arctanx)^2-∫1/2*x^2d(arctanx)^2+C
=1/2*x^2*(arctanx)^2-∫x^2*arctanx*(1/(1+x^2))dx+C
=1/2*x^2*(arctanx)^2-∫arctanxdx+∫arctanx*(1/(1+x^2))dx+C
而
∫arctanxdx=xarctanx-∫xdarctanx+C
=xarctanx-∫x/(1+x^2)dx+C
=xarctanx-1/2ln(1+x^2)+C
∫arctanx*(1/(1+x^2))dx=∫arctanxdarctanx+C
=1/2(arctanx)^2+C
将这些结果代入即可得到
∫x(arctanx)^2 dx
=1/2*x^2*(arctanx)^2-xarctanx+1/2ln(1+x^2)+1/2(arctanx)^2+C