关于2个函数极限的问题第一题：求limx→0a^x-1/x.令a^x-1=t,则limx→0a^x-1/x=limt→0t/loga(1+t)=lna第二题：求极限limt→x(sint/sinx)^(x/sint-sinx)设此极限为f(x)因为f(x)=limt→x[1+(sint-sinx)/sinx]^(x/sint-sin

Question

关于2个函数极限的问题
第一题：求limx→0 a^x-1/x. 令a^x-1=t ,
则limx→0 a^x-1/x=limt→0 t/loga (1+t)=ln a
第二题：求极限limt→x (sint/sinx)^(x/sint-sinx) 设此极限为f(x)
因为f(x)=limt→x [1+(sint-sinx)/sinx]^(x/sint-sinx),
而limt→x [(sint-sinx)/sinx].[x/(sint-sinx)]=x/sinx,
所以f(x)=e^(x/sinx)
谁能帮我解释下上面两题， 小弟拜谢

Answer 1

第一题：求limx→0 a^x-1/x. 令a^x-1=t ,
则limx→0 a^x-1/x=limt→0 t/loga (1+t)=ln a
最后一步是分子分母分别求导即是用罗比塔法则：
limt→0 t/loga (1+t)
=limt→0 1/{1/ [(1+t)lna]}
=limt→0 lna*(1+t)
=lna.
实际上，本题可不用换元法，可直接用罗比塔法则：
limx→0 a^x-1/x
=limx→0 (a^x*lna)/1
=limx→0 a^xlna
=lna.
第二题：求极限limt→x (sint/sinx)^(x/sint-sinx) 设此极限为f(x)
本题所用的公式如一楼所言，为：x->0时(1+x)^(1/x)=e。
可以将题目步骤中的（sint-sinx）/sinx看成u,从第二步开始后可得到：
f(x)=limt→x [1+(sint-sinx)/sinx]^(x/sint-sinx)
=lim t→x {[1+(sint-sinx)/sinx]^[sinx/(sint-sinx)]}^(x/sinx)
=lim t→x [(1+u)^u]^(x/sinx)
=lim t→x e^(x/sinx)。