已知椭圆C过点M(1，62)，F(−2，0)是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A．

Question

已知椭圆C过点M(1，(√(6))/(2))，F(−√(2)，0)是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A．

Answer 1

（1）设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，由已知，
得

(1)/(a2)+((6)/(4))/(b2)＝1

a2−b2＝2

，解得

a2＝4

b2＝2

所以椭圆的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1，
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由椭圆的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1，
可知|PF|=√(作业帮用户2017-11-09问题解析（1）设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，由已知列出关于a，b的方程组，解之即得椭圆的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1；（2）先设P（x1，y1），Q（x2，y2），2|MF|=|PE|+|QF|，得出x1+x2=2，下面对x1与x2关系进行分类讨论：①当x1≠x2时，②当x1=x2时，分别求得线段PQ的中垂线方程，看它是否经过一个定点A．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)