在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为12．过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为8．过定点M（0，3）的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H

Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为(1)/(2)．过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF₂的周长为8．过定点M（0，3）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，离心率e＝(c)/(a)＝(1)/(2)，
△ABF₂的周长为|AF₁|+|AF₂|+|AF₁|+|AF₂|=4a=8，
解得a=2，c=1，则b²=a²-c²=3，
所以椭圆的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（Ⅱ）直线l₁的方程为y=kx+3（k＞0），
由

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

y＝kx+3

，消去y并整理得（3+4k²）x²+24kx+24=0（*），
△=（24k）²-4×24×（3+4k²）＞0，解得k＞(√(6))/(2)，
设椭圆的弦GH的中点为N（x₀，y₀），
则“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l₁”．
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由韦达定理得，x₁+x₂=−(24k)/(3+4k2)，
所以x₀=(x1+x2)/(2)=−(12k)/(3+4k2)，∴y₀=kx₀+3═(9)/(3+4k2)，
∴N(−(12k)/(3+4k2)，(9)/(3+4k2))，kPN＝−(9)/(12k+m(3+4k2))，
所以，−(9)/(12k+m(3+4k2))•k＝−1，解得m＝−(3k)/(3+4k2)(k＞(√(6))/(2))．
m′(k)＝(3(2k−√(3))(2k+√(3)))/((3+4k2)2)＞(3(√(6)−√(3))(2k+√(3)))/((3+4k2)2)＞0，
所以，函数m＝−(3k)/(3+4k2)(k＞(√(6))/(2))在定义域((√(6))/(2)，+∞)单调递增，m((√(6))/(2))＝−(√(6))/(6)，
所以满足条件的点P（m，0）存在，m的取值范围为(−(√(6))/(6)，+∞)．