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已知椭圆和圆O：，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B。（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得，求椭圆离
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已知椭圆 和圆O： ，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B。 |
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| （1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e； （ⅱ）若椭圆上存在点P，使得  ，求椭圆离心率e的取值范围； （2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：  为定值。 |
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答案和解析
已知椭圆 和圆O： ，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B。 |
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| （1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e； （ⅱ）若椭圆上存在点P，使得  ，求椭圆离心率e的取值范围； （2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：  为定值。 |
（1）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O： ，∴b=c， ∴  ，即  ，∴  。（ⅱ）由  及圆的性质，可得 ，∴  ，∴  ， ，∴  。（2）设  ，则 ，整理，得  ， ，∴PA的方程为：  ，PB的方程为：  ，令  ，得 ；令y=0，得  ，∴  ，∴  是定值，定值为 。 |
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