已知椭圆C:y^/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的焦点和上顶点分别为F1F2B我们称三角形F1BF2为椭圆C的特征三角形若两个椭圆的特征三角形相似,则称这两个椭圆是“相似椭圆”且三角形的形似比即为椭圆的形似

Question

已知椭圆C:y^/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的焦点和上顶点分别为F1F2B我们称三角形F1BF2为椭圆C的特征三角形
若两个椭圆的特征三角形相似,则称这两个椭圆是“相似椭圆”且三角形的形似比即为椭圆的形似比
1）已知C1：x^2/4+y^2=1和c2:x^2/16+y^2/4=1.判断C1与C1是否相似,若形似求出相似比,若不相似,说明理由
2）已知直线l:y=x+1求与椭圆C1相似且短轴长为b的椭圆Cb的方程；在Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称,若存在求f(b)=绝对值MN的解析式

Answer 1

）对于C1:a1=2,b1=1,c1=√3.F1F2=2c1,BF1=BF2=a1.
对于C2:a2=4,b2=2,c2=2√3.F1F2=2c2,BF1=BF2=a2.
∴两个三角形的三边对应成比例,C2与C1的相似比为a2/a1=2.
2)设与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程为
x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1(b>0).（1）
若它有两点M,N关于l:y=x+1对称,则M,N在直线
y=-x+m（2）
上,把（2）代入（1）,化简得5x^2-8mx+4m^2-4b^2=0,(3)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=8m/5.
MN的中点（4m/5,m/5)在l上,
∴m/5=4m/5+1,m=-5/3.
方程（3）变为45x^2+120x+100-36b^2=0,
△=120^2-180(100-36b^2)=720（9b^2-5）,
f(b)=|MN|=(√△）/45*√[1+(-1)^2]
=(4/15）√（90b^2-50),
由△>=0,b>0得b>=(√5）/3.
∴f(b)的定义域是[(√5)/3,+∞）.