设A为n阶矩阵,且其行列式为a不等于0证明它可以通过第三种初等变换化为对角矩阵diag（1,1,设A为n阶矩阵,且其行列式为a不等于0证明它可以通过第三种初等变换化为对角矩阵diag（1,1,……a）

Question

设A为n阶矩阵,且其行列式为a不等于0 证明它可以通过第三种初等变换化为对角矩阵diag（1,1,
设A为n阶矩阵,且其行列式为a不等于0
证明它可以通过第三种初等变换化为对角矩阵diag（1,1,……a）

Answer 1

分三步来证
1) 第一类初等变换(即交换两行或两列)"差不多"可以用第三类初等变换来实现.
注意第一类初等变换的行列式是-1,而第三类初等变换的行列式是1,不可能完全实现第一类初等变换,所以效果上稍微会差一些.
用第三类初等变换可以实现(x,y) -> (-y,x)的变换,具体如下
(x,y) -> (x,x+y) -> (-y,x+y) -> (-y,x)
2) 既然有了行交换(差一个负号)和第三类初等变换,那么就可以使用Gauss消去法,把A化成对角阵.
3) 当xy≠0时第三类初等变换可以把diag{x,y}变到diag{1,xy},具体如下
[x,0; 0,y] -> [x,0; -1,y] -> [0,xy; -1,y] -> [0,xy; -1,-0] -> [1,0; 0,xy]
最后一步就是带负号的行交换
这样就能把前n-1个对角元逐个归一化