设A为n阶矩阵．若存在正整数m使Am=O，则称A为n阶幂零矩阵．现设A为n阶幂零矩阵，E为n阶单位矩阵，B是n阶可逆矩阵．（1）求证：|E+A|=1．（2）若AB=BA，求证：|B+A|=|B|．

Question

设A为n阶矩阵．若存在正整数m使A^m=O，则称A为n阶幂零矩阵．现设A为n阶幂零矩阵，E为n阶单位矩阵，B是n阶可逆矩阵．
（1）求证：|E+A|=1．
（2）若AB=BA，求证：|B+A|=|B|．

Answer 1

证明：（1）假设a是A的特征值，
则a^m是A^m的特征值，
而A^m=0，零矩阵只有0特征值
∴a^m=0
∴a=0．
即A的特征值只有0．
∴E+A的特征值只有1
∴|E+A|=1
（2）由AB=BA，知A和B可同时由初等变换上三角化，
而A的特征值为零
即A上三角化后，主对角线上的元素全为零
因此B+A上三角化后主对角线上只有B上三角化后主对角线上的元素
∴|B+A|=|B|．