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设A为n阶矩阵.若存在正整数m使Am=O,则称A为n阶幂零矩阵.现设A为n阶幂零矩阵,E为n阶单位矩阵,B是n阶可逆矩阵.(1)求证:|E+A|=1.(2)若AB=BA,求证:|B+A|=|B|.
题目详情
设A为n阶矩阵.若存在正整数m使Am=O,则称A为n阶幂零矩阵.现设A为n阶幂零矩阵,E为n阶单位矩阵,B是n阶可逆矩阵.
(1)求证:|E+A|=1.
(2)若AB=BA,求证:|B+A|=|B|.
(1)求证:|E+A|=1.
(2)若AB=BA,求证:|B+A|=|B|.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)假设a是A的特征值,
则am是Am的特征值,
而Am=0,零矩阵只有0特征值
∴am=0
∴a=0.
即A的特征值只有0.
∴E+A的特征值只有1
∴|E+A|=1
(2)由AB=BA,知A和B可同时由初等变换上三角化,
而A的特征值为零
即A上三角化后,主对角线上的元素全为零
因此B+A上三角化后主对角线上只有B上三角化后主对角线上的元素
∴|B+A|=|B|.
则am是Am的特征值,
而Am=0,零矩阵只有0特征值
∴am=0
∴a=0.
即A的特征值只有0.
∴E+A的特征值只有1
∴|E+A|=1
(2)由AB=BA,知A和B可同时由初等变换上三角化,
而A的特征值为零
即A上三角化后,主对角线上的元素全为零
因此B+A上三角化后主对角线上只有B上三角化后主对角线上的元素
∴|B+A|=|B|.
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