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设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵P=E0−αTA*|A|,Q=AααTb.其中A∗是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位阵.(1)计算并化简PQ;(2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是

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设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵
P=
E0
αTA*|A|
Q=
Aα
αTb

其中A是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位阵.
(1)计算并化简PQ;
(2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
▼优质解答
答案和解析

(1)
PQ=
E0
−αTA*
.
A
.
Aα
αTb

=
Aα
−αTA*A+
.
A
.
αT
−αTA*α+
.
A
.
b

∵A是非奇异矩阵,AA*=A*A=
.
A
.
E,
∴PQ=
Aα
0
.
A
.
b−αTA−1α

 
(2)
证明:
.
PQ
.
=
.
P
.
.
Q
.

其中:
.
P
.
=
.
A
.
,并且由:
.
PQ
.
=
.
A
.
.
A
.
b−αTA−1α

.
Q
.
=
.
A
.
b−αTA−1α

又由于矩阵A非奇异,即:
.
A
.
≠0,
矩阵Q可逆⇔Q的行列式不为0,
也就是:b≠αTA-1α,证毕.
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