设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P＝E0−αTA*|A|，Q＝AααTb．其中A∗是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位阵．（1）计算并化简PQ；（2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是

Question

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵
P＝

E	0
−αTA*	|A|

，Q＝

A	α
αT	b

．
其中A^∗是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位阵．
（1）计算并化简PQ；
（2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是α^TA^-1α≠b．

Answer 1

（1）
PQ=

E

0

−αTA*

.

A

.

A	α
αT	b

=

A

α

−αTA*A+

.

A

.

αT

−αTA*α+

.

A

.

b

∵A是非奇异矩阵，AA^*=A^*A=

.

A

.

E，
∴PQ=

A

α

0

.

A

.

b−αTA−1α

．
 
（2）
证明：
∵

.

PQ

.

=

.

P

.

.

Q

.

其中：

.

P

.

=

.

A

.

，并且由：

.

PQ

.

=

.

A

.

.

A

.

b−αTA−1α

，
∴

.

Q

.

=

.

A

.

b−αTA−1α

又由于矩阵A非奇异，即：

.

A

.

≠0，
矩阵Q可逆⇔Q的行列式不为0，
也就是：b≠α^TA^-1α，证毕．