没理解这句话：任一m*n矩阵都行等阶于一个m*n阶梯形矩阵.书上有一个定理：定理1.1：对于任一非零矩阵A,都可通过若干次初等行变换把它化成阶梯形矩阵；然后又说：由定理1.1可知：任一m*n

Question

没理解这句话：任一m*n矩阵都行等阶于一个m*n阶梯形矩阵.
书上有一个定理：
定理1.1：对于任一非零矩阵A,都可通过若干次初等行变换把它化成阶梯形矩阵；
然后又说：
由定理1.1可知：任一m*n矩阵都行等阶于一个m*n阶梯形矩阵.
后面这句话说的通吗?好像不行吧,不懂,

Answer 1

通过高斯消去法,总能把矩阵 变成 左边0的个数递增的形式,就是所谓的梯形矩阵
举个例子
1 2 3 4 5
3 2 1 2 3
6 4 2 4 5 变成
第一行乘以3去减第二行,乘以6去减第三行,目的是要2、3行第一位出现0
1 2 3 4 5
0 -4 -8 -10 -12
0 -8 -16 -20 -25
然后看 第二行到第三行 第二列到最后一列的部分 -4 -8 -10 -12
-8 -16 -20 -25
类似的做法,在原来的矩阵第二行乘以2去减第三行,就能变成
1 2 3 4 5
0 -4 -8 -10 -12
0 0 0 0 -1
这就是传说中的阶梯矩阵了,所有的矩阵都能用上面说的消去法最终必然是梯形矩阵（其实是小学初中时学二元方程组的时候对系数作的事情的多元推广）