已知函数f（x）=ax2+bx-lnx（a，b∈R）．（1）当a=-1，b=3时，求函数f（x）在[12，2]上的最大值和最小值；（2）当a=0时，是否存在正实数b，当x∈（0，e]（e是自然对数底数）时，函数f（x）的最小

Question

已知函数f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）．
（1）当a=-1，b=3时，求函数f（x）在[(1)/(2)，2]上的最大值和最小值；
（2）当a=0时，是否存在正实数b，当x∈（0，e]（e是自然对数底数）时，函数f（x）的最小值是3，若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由题意，f（x）=-x²+3x-lnx，定义域为：x>0
对f（x）求导：f'（x）=-2x+3-(1)/(x)，令f'（x）=0，则有x₁=(1)/(2)，x₂=1；
当x∈（0，(1)/(2)）时，f'（x）<0，则f（x）在（0，(1)/(2)）上单调递减；
当x∈（(1)/(2)，1）时，f'（x）>0，则f（x）在（(1)/(2)，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）<0，则f（x）在（1，+∞）上单调递减；
所以f（x）_max=f（1）=2，f（x）_min={f（(1)/(2)），f（2）}=f（(1)/(2)）=ln2+(5)/(4)；
（2）当a=0时，f（x）=bx-lnx  （x>0）
对f（x）求导，即f'（x）=b-(1)/(x)
当b>0时，令f'（x）=0，即导函数零点：x=(1)/(b)；
所以f（x）在（0，(1)/(b)）上单调递减，在（(1)/(b)，+∞）上单调递增；
（i）当(1)/(b)>e时，即：b<(1)/(e)，f（x）在（0，e]上单调递减，此时最小值为f（e）．
由题意，f（e）=3，即：b=(3)/(e)，不合题意；
（ii）当(1)/(b)≤e时，即：b≥(1)/(e)，f（x）在（0，(1)/(b)）上递减，在（(1)/(b)，e）上递增；
此时最小值为f（b）．
由题意：f（b）=3，即：b=e²，满足题意．
综上：b=e²．