已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)且同时满足下列条件：①f(-1)=0②对任意实数x,都有f(x)-x≥0③当x∈(0,2)时,有f(x)≤((x+1)/2)^2⑴求f(1)⑵求a,b,c的值⑶当x∈〔-1,1〕时,函数g(x)=f(x)-mx（m∈R)是单调函

Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)且同时满足下列条件：
①f(-1)=0
②对任意实数x,都有f(x)-x≥0
③当x∈(0,2)时,有f(x)≤((x+1)/2)^2
⑴求f(1)
⑵求a,b,c的值
⑶当x∈〔-1,1〕时,函数g(x)=f(x)-mx（m∈R)是单调函数,求m的取值范围

Answer 1

因为f(x)≤((x+1)/2)^2,所以f(1)=1
所以f(1)=1
f(1)=1,且f（-1）=0
所以a+b+c=1 ,a-b+c=0
b=1/2 c=1/2-a
f(x)= ax²+1/2x+1/2-a
又f(X)≥x恒成立
ax²-1/2x+1/2-a≥0
所以Δ≤0 即1/4-4a(1/2-a) ≤0 解得a=1/4
即c=1/2-a=1/4
所以f(X)=1/4 x²-1/2x+1/4
g（x）=f(x)-mx在(-1,1)是单调函数
g（x）=1/4 x²-(1/2+m)x+1/4,设对称轴X0=1+2m
即只需X0≥1或X0≤-1
即1+2m≥1或1+2m≤-1
解得m≥0或m≤-1