设函数f(x)＝x2+1−ax(a＞0)，（I）求证：当且仅当a≥1时，f（x）在[0，+∞）内为单调函数；（II）求a的取值范围，使函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

Question

设函数f(x)＝√(x2+1)−ax(a＞0)，
（I）求证：当且仅当a≥1时，f（x）在[0，+∞）内为单调函数；
（II）求a的取值范围，使函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

（I）∵f′(x)＝(x)/(√(x2+1))−a，
①当a≥1时，∵(x)/(√(x2+1))≤(|x|)/(√(x2+1))＜1≤a，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减
②当0＜a＜1时，由f′（x）＜0，得0≤x＜a√(x2+1)⇒0≤x＜(a)/(√(1−a2))；
由f′（x）＞0得x＞a√(x2+1)⇒x＞(a)/(√(1−a2))；
∴当0＜a＜1时，f（x）在[0，(a)/(√(1−a2)))为减函数，而在((a)/(√(1−a2))，+∞)，为增函数，
∴当0＜a＜1时，f（x）在[0，+∞）上不是单调函数；
综上，当且仅当a≥1时，f（x）在[0，+∞）上为单调函数．
（II）由（I）①知当a≥1时f（x）单调递减，不合；  由②知当f（x）在[1，+∞）上单调递增等价于：(a)/(√(1−a2))≤1，∴0＜a≤(√(2))/(2)，即a的取值范围是(0，(√(2))/(2)]．