设f(x)是以T为周期的函数.函数g(x)满足g(x)>0.f^2(x)+g^2(x)=1.证明g(x)也是周期函数

Question

设f(x)是以T为周期的函数.函数g(x)满足g(x)>0.f^2(x)+g^2(x)=1.证明g(x)也是周期函数

Answer 1

一楼采用特殊化的做法不对.
判断函数是否为周期函数的依据是:
“f(x＋T)＝f(x)”等价于“f(x)是以T为周期的周期函数”
正确解法：
由已知f(x)是以T为周期的函数可得
f(x＋T)＝f(x)…………①
又由f^2(x)＋g^2(x)＝1转化为
g(x)＝根号(1－f^2(x))…………②
将①式代入②式可得
g(x)＝根号(1－f^2(x＋T))…………③
又在②式中令x＝x+T,得
g(x+T)＝根号(1－f^2(x＋T))…………④
比较③式和④式得：
g(x)＝g(x+T)
所以,函数g(x)是周期为T的周期函数．