高数微分方程课后练习6.设连续函数f(x)满足方程f(x)=X^3+1-x*∫(0到x)f(t)dt+∫(0到x)t*f(t)dt,求f(x).4.设f(x)在[1,+∞]内有连续的导数,且满足"x-1+x*∫(1到x)f(t)dt=(x+1)*∫(1到x)t*f(t)dt",试求出该函数.

Question

高数微分方程课后练习
6.设连续函数f(x)满足方程f(x)=X^3+1-x*∫(0到x) f(t)dt+ ∫(0到x) t*f(t)dt,求f(x).
4.设f(x)在[1,+∞]内有连续的导数,且满足" x-1+x*∫(1到x) f(t)dt=(x+1)*∫(1到x) t*f(t)dt",试求出该函数.

Answer 1

6 先对方程求导
f'(x)=3x^2-∫(0到x) f(t)dt-xf(x)+xf(x)=3x^2-∫(0到x) f(t)dt
再求导
f''(x)=6x-f(x)
微分方程y"+y=6x
通解y=c1 sinx+c2cosx+6x
根据原方程有f(0)=1,f'(0)=0
于是 c2=1,c1=-6
f(x)=-6sinx+cosx+6x
4求导 1+xf(x)+∫(1到x) f(t)dt=∫(1到x) t*f(t)dt+(x+1)xf(x)
1+∫(1到x) f(t)dt=∫(1到x) t*f(t)dt+x^2 f(x)
再求导f(x)=xf(x)+2xf(x)+x^2 f'(x)
微分方程dy/dx=(1-3x)y/x^2
dy/y=(1-3x)dx/x^2
ln|y|=-1/x-3lnx+C
y=Ce^(-1/x)/x^3
由原方程f（1）=1,C=e
y=e^(1-1/x)/x^3