如图①，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交⊙O于点E，经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G．（1）求证：BC∥FG；（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；（3

Question

如图①，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交⊙O于点E，经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G．
（1）求证：BC∥FG；
（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；
（3）当图①中的FE=AB时，如图②，若FB=3，CG=2，求AG的长．

Answer 1

（1）证明：连接BE，
∵点P是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵FG切⊙O于E，
∴∠BEF=∠BAD．
又∵∠DBE=∠CAD，
∴∠BEF=∠DBE．
∴BC∥FG．
（2）连接BP，
则∠ABP=∠CBP．
∵∠BPE=∠BAP+∠ABP=∠PBC+∠EBD，
∴∠BPE=∠PBE．
∴BE=PE．
在△ABE和△BDE中，
∠BAE=∠EBD，∠BED=∠AEB，
∴△ABE∽△BDE．
∴(BE)/(AE)=(DE)/(BE)．
∴BE²=AE•DE．
∴PE²=AE•DE．
（3）∵FE²=FB•FA=FB（FB+AB），
而FE=AB，
∴AB²=3（3+AB）．
设AB=x，则x²-3x-9=0，
解之得x=(3+3√(5))/(2)．
∴AB=(3+3√(5))/(2)（取正值）．
由（1）在△AFG中，BC∥FG，
∴(AB)/(BF)＝(AC)/(CG)．
∴AC=(AB•CG)/(BF)=(3+3√(5))/(2)×(2)/(3)=1+√(5)．
∴AG=AC+CG=3+√(5)．