已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切，过点P(－4,0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A、B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足（1）求双曲线G的

Question

已知双曲线 G 的中心在原点，它的渐近线与圆 相切，过点 P (－4,0)作斜率为 的直线 l ，使得 l 和 G 交于 A 、B 两点，和 y 轴交于点 C ，并且点 P 在线段 AB 上，又满足
（1）求双曲线G的渐近线方程
（2）求双曲线G的方程
（3）椭圆 S 的中心在原点，它的短轴是 G 的实轴，如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分，求椭圆 S 的方程。

Answer 1

（1） （2） （3）

(1)设双曲线 G 的渐近线方程为 y=kx ，则由渐近线与圆 相切可得 ，所以 ，故渐近线方程为
(2)由（1）可设双曲线G的方程为 ，把直线 l 的方程代入双曲线并整理得 则     （1）
,P、A、B、C共线且在线段AB上
即 整理得
将（1）式带入得m=8故双曲线G的方程为
(3)由提议可设椭圆方程为 设弦的端点分别为 ， ，MN的中点为 ，则 ， 作差得 故垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线 截在内的部分。又由题意，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分
即