的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，（1）求圆G的半径r；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．

Question

的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，
（1）求圆G的半径r；
（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．

Answer 1

（1）设B（2+r，y₀），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H
由得，
即（1）
而点B（2+r，y₀）在椭圆上，（2）
由（1）、（2）式得15r²+8r-12=0，
解得或（舍去）
（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y-1=kx（3）
则，即32k²+36k+5=0（4）
解得
将（3）代入得（16k²+1）x²+32kx=0，
则异于零的解为
设F（x₁，k₁x₁+1），E（x₂，k₂x₂+1），
则
则直线FE的斜率为：
于是直线FE的方程为：
即
则圆心（2，0）到直线FE的距离
故结论成立．