Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE=PF，下列结论：①PE为⊙O的切线；②G为AC的中点；③OG∥BE；④∠A=∠P其中正

Question

Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE=PF，下列结论：
①PE为⊙O的切线；②G为AC的中点；③OG∥BE；④∠A=∠P 
其中正确的有（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

连接OE，CE，
∵OE=OD，PE=PF，
∴∠OED=∠ODE，∠PEF=∠PFE，
∵OD⊥BC，
∴∠ODE+∠OFD=90°，
∵∠OFD=∠PFE，
∴∠OED+∠PEF=90°，
即OE⊥PE，
∵点E⊙O上，
∴PE为⊙O的切线；故①正确；
∵BC是直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线，
∴EG=CG，
∴∠GCE=∠GEC，
∵∠GCE+∠A=90°，∠GEC+∠AEG=90°，
∴∠A=∠AEG，
∴AG=EG，
∴AG=CG，
即G为AC的中点；故②正确；
∵OC=OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG∥AB，
即OG∥BE，故③正确；
在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，
在Rt△POE中，∠P+∠POE=90°，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
但∠POE不一定等于∠ABC，
∴∠A不一定等于∠P．故④错误．
故选C．