高中数学题以原点为圆心的两个同心圆的方程分别是x^2+y^2=4和x^2+y^2=1,过原点O的射线交大圆于点P,交小圆与点Q,做PM⊥x轴于M,若向量PN=λ向量PM,向量QN*向量PM=0(1)求点N的轨迹方程(2)过点A(-

Question

高中数学题
以原点为圆心的两个同心圆的方程分别是x^2+y^2=4和x^2+y^2=1,过原点O的射线交大圆于点P,交小圆与点Q,做PM⊥x轴于M,若向量PN=λ向量PM,向量QN*向量PM=0 (1)求点N的轨迹方程 (2)过点A(-3,0)的直线l与(1)中点N的轨迹交于E,F,设B(1,0)求BE*BF的取值范围

Answer 1

以原点为圆心的两个同心圆的方程分别是x^2+y^2=4和x^2+y^2=1,过原点O的射线交大圆于点P,交小圆与点Q,做PM⊥x轴于M,若向量PN=λ向量PM,向量QN*向量PM=0 (1)求点N的轨迹方程 (2)过点A(-3,0)的直线l与(1)中点N的轨迹交于E,F,设B(1,0)求BE*BF的取值范围
(1).设射线OP与x轴正向的夹角为t,动点N的坐标为(x,y),那么依题意有：
x=OPcost=2cost
即有x/2=cost.(1)
y=OQsint=sint.(2)
(1)²+(2)² 得 x²/4+y²=cos²t+sin²t=1.(3)
由(3)可知：N点的轨迹是一个a=2,b=1,c=√3,焦点在x轴上的椭圆.
（2）设过A(-3,0)的直线L的方程为y=k(x+3)=kx+3k,再设L与椭圆（3）的交点E,F的坐标分别
为E(x₁,y₁),F(x₂,y₂).将y=kx+3k代入椭圆方程得：
x²/4+(kx+3k)²=1
x²+4(kx+3k)²=4
(1+4k²)x²+24k²x+36k²-4=0.(4)
直线L与椭园至少有一个交点,故其判别式
△＝576k⁴-4(1+4k²)(36k²-4)=(-80k²+16)=16(1-5k²)≥0
从而得到k²的最大值为1/5,即有：k²≤1/5.(5)
x₁,x₂是方程（4）的根,故：
x₁+x₂=-24k²/(1+4k²)
x₁x₂=(36k²-4)/(1+4k²)
y₁y₂=(kx₁+3k)(kx₂+3k)=k²(x₁x₂)+3k²(x₁+x₂)+9k²
=k²(36k²-4)/(1+4k²)-72k⁴/(1+4k²)+9k²=5k²/(1+4k²)
向量BE=(x₁-1,y₁); 向量BF=(x₂-1,y₂)
故BE•BF=(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=x₁x₂-(x₁+x₂)+y₁y₂+1
=(36k²-4)/(1+4k²)+24k²/(1+4k²)+5k²/(1+4k²)+1=(69k²-3)/(1+4k²)
=[69-(3/k²)]/[4+(1/k²)] (用k²≤1/5,即1/k²≥5代入,即得BE•BF的最大值）
≤（65-15)/(4+5)=50/9.
当直线L穿过椭园中心,即坐标原点时,向量BE与 BF的夹角变为180°,此时
BE•BF=│BE││BF│cos180°=3×1×(-1)=-3
,故有-3≤BE•BF≤50/9.这就是BE•BF的取值范围.