如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx与x轴交于O、A两点，与直线y=x交于点B，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，2）．点P在抛物线上，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边向右

Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx与x轴交于O、A两点，与直线y=x交于点B，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，2）．点P在抛物线上，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边向右作矩形PQMN，且PN=1，设点P的横坐标为m（m>0，且m≠2）．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）求矩形PQMN的周长C与m之间的函数关系式．
（3）当矩形PQMN是正方形时，求m的值．

Answer 1

（1）把A（3，0）、B（2，2）两点坐标代入y=ax²+bx，
得

9a+3b=0

4a+2b=2

，解得

a=-1

b=3

．
故抛物线所对应的函数表达式为y=-x²+3x．
（2）∵点P在抛物线y=-x²+3x上，
∴可以设P（m，-m²+3m），
∵PQ∥y轴，
∴Q（m，m）．
①当0<m<2时，如图1中，

PQ=-m²+3m-m=-m²+2m，
C=2（-m²+2m）+2=-2m²+4m+2．
②当m>2时，如图2中，

PQ=m-（-m²+3m）=m²-2m，
C=2（m²-2m）+2=2m²-4m+2．
（3）∵矩形PQMN是正方形，
∴PQ=PN=1，
当0<m<2时，如图3中，

-m²+2m=1，解得m=1．
当m>2时，如图4中，

m²-2m=1，解得m=1+√(2)（或1-√(2)不合题意舍弃）．