已知g（x）=-x2-3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．

Question

已知g（x）=-x²-3，f（x）=ax²+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．
（1）求a，c的值；
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．

Answer 1

（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
又f（x）+g（x）为奇函数，
∴h（x）=-h（-x），
∴（a-1）x²-bx+c-3=-（a-1）x²-bx-c+3对x∈R恒成立，
∴

a−1＝−a+1

c−3＝−c+3

，
解得

a＝1

c＝3

；
（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
∵h（x）为奇函数，
∴a-1=0，c-3=0，
∴a=1，c=3．
（2）f（x）=x²+bx+3，其图象对称轴为x＝−(b)/(2)，
当−(b)/(2)≤−1，即b≥2时，
f（x）_min=f（-1）=4-b=1，∴b=3；
当−1＜−(b)/(2)≤2，即-4≤b＜2时，
f(x)min＝f(−(b)/(2))＝(b2)/(4)−(b2)/(2)+3＝1，
解得b＝−2√(2)或b＝2√(2)（舍）；
当−(b)/(2)＞2，即b＜-4时，
f（x）_min=f（2）=7+2b=1，∴b=-3（舍），
∴f（x）=x²+3x+3或∴f(x)＝x2−2√(2)x+3．