若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F(x)=f(x)x在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“单反减函数”，已知f(x)=lnx，g(x)=2x+2x+alnx(a∈R)（1）

Question

若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F(x)= (f(x))/(x)在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“单反减函数”，已知f(x)=lnx，g(x)=2x+ (2)/(x)+alnx(a∈R)（1）判断f（x）在（0，1]上___（填是或不是）“单反减函数”；  （2）若g（x）是[1，+∞）上的“单反减函数”，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函数，且F（x）=(f(x))/(x)=(lnx)/(x)，
∵F′（x）=(1-lnx)/(x2)，∴当x∈（0，1]时，F′（x）>0，F（x）为增函数，
∴f（x）在（0，1]上不是“单反减函数”；
（2）∵g（x）=2x+(2)/(x)+alnx，
∴g′（x）=2-(2)/(x2)+(a)/(x)=(2x2+ax-2)/(x2)，
∵g（x）是[1，+∞）上的“单反减函数”，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g′（1）≥0，∴a≥0，
又G（x）=(g(x))/(x)=2+(2)/(x2)+(alnx)/(x)在[1，+∞）上是减函数，
∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即-(4)/(x3)+(a(1-lnx))/(x2)≤0在[1，+∞）恒成立，
即ax-axlnx-4≤0在[1，+∞）恒成立，
令p（x）=ax-axlnx-4，
则p′（x）=-alnx，
∴

a≥0

P(1)≤0

解得0≤a≤4，
综上所述a的取值范围为[0，4]，
故答案为：不是，[0，4]