若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F（x）=f(x)x在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“非完美增函数”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x+2x+alnx（a∈R）（1）判断f（x）在（0，1]上是

Question

若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F（x）=(f(x))/(x)在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“非完美增函数”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x+(2)/(x)+alnx（a∈R）
（1）判断f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函数”；
（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函数，且F（x）=(f(x))/(x)=(lnx)/(x)，
∵F′（x）=(1−lnx)/(x2)，∴当x∈（0，1]时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，
∴f（x）在（0，1]上不是“非完美增函数”；
（2）∵g（x）=2x+(2)/(x)+alnx，
∴g′（x）=2-(2)/(x2)+(a)/(x)=(2x2+ax−2)/(x2)，
∵g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g′（1）≥0，∴a≥0，
又G（x）=(g(x))/(x)=2+(2)/(x2)+(alnx)/(x)在[1，+∞）上是减函数，
∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即-(4)/(x3)+(a(1−lnx))/(x2)≤0在[1，+∞）恒成立，
即ax-axlnx-4≤0在[1，+∞）恒成立，
令p（x）=ax-axlnx-4，则p′（x）=-alnx≤0恒成立（∵a≥0，x≥1），
∴p（x）=ax-axlnx-4在[1，+∞）上单调递减，
∴p（x）_max=p（1）=a-4≤0，解得：a≤4；
综上所述0≤a≤4．