若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)＝f(x)x在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x+2在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简

Question

若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)＝(f(x))/(x)在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”
（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x²+4x+2在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．
（2）若函数h(x)＝x2+(sinθ−(1)/(2))x+b（θ、b是常数）在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及正数b应满足的条件．

Answer 1

（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=(f(x))/(x)＝1+(4)/(x)在（1，2）上是减函数，
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”；
g（x）=x²+4x+2在（1，2）上是增函数，但(g(x))/(x)＝x+4+(2)/(x)在（1，2）上不单调，所以g（x）=x²+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．
（2）因为h(x)＝x2+(sinθ−(1)/(2))x+b（θ、b是常数）在（0，1]上是“弱增函数”
所以h(x)＝x2+(sinθ−(1)/(2))x+b在（0，1]上是增函数，且F（x）=(h(x))/(x)＝x+(b)/(x)+(sinθ−(1)/(2))在（0，1]上是减函数，
由h(x)＝x2+(sinθ−(1)/(2))x+b在（0，1]上是增函数，得h′（x）≥0即2x+（sinθ-(1)/(2)）≥0在（0，1]上恒成立，
所以(−(sinθ−(1)/(2)))/(2)≤0，得sinθ≥(1)/(2)，解得θ∈[2kπ+(π)/(6)，2kπ+(5π)/(6)]，k∈Z．
由F（x）=(h(x))/(x)在（0，1]上是减函数，得F′（x）≤0在（0，1]上恒成立，即1-(b)/(x2)≤0，b≥x²在（0，1]上恒成立，
所以b≥1．
综上所述，b≥1且θ∈[2kπ+(π)/(6)，2kπ+(5π)/(6)]    k∈Z时，h（x）在（0，1]上是“弱增函数”．