若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且h（x）=f(x)x在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“单反减函数”，已知f（x）=ex+x，g（x）=x+lnx+2x．（1）判断f（x）在（0，+∞）上是否是

Question

若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且h（x）=(f(x))/(x)在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“单反减函数”，已知f（x）=e^x+x，g（x）=x+lnx+(2)/(x)．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上是否是“单反减函数”，并说明理由；
（2）若g（x）是[(a)/(4)，+∞）上的“单反减函数”，求实数a取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x+x，∴f′（x）=e^x+1>0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
设h（x）=(f(x))/(x)=(ex)/(x)+1，
∴h′（x）=(ex(x-1))/(x2)（x≥0）在区间（0，+∞）上不恒成立，
∴h（x）在区间（0，+∞）上不一定是增函数，
∴函数f（x）不是区间（0，+∞）上的“单反减函数”；
（2）∵g（x）=x+lnx+(2)/(x)，x>0，
∴g′（x）=1+(1)/(x)-(2)/(x2)=(x2+x-2)/(x2)=((x+2)(x-1))/(x2)，
当x≥1时，g′（x）≥0，
g（x）在[0，+∞）单调递增，
又h（x）=(g(x))/(x)=1+(lnx)/(x)+(2)/(x2)，
h′（x）=(1-lnx)/(x2)-(4x)/(x3)=(x-xlnx-4)/(x3)，
令m（x）=x-xlnx-4，
m′（x）=1-1-lnx-lnx=-lnx，
当x∈（0，1）时，m′（x）>0，m（x）是单调递增；
当x∈（1，+∞）时，m′（x）<0，m（x）单调递减，
∴m（x）≤m（1）=-3，即m（x）<0，
∴h′（x）<0在（0，+∞）上恒成立，h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）是[1，+∞）上的“单反函数”，
又∵g（x）是[(a)/(4)，+∞）上的“单反函数”，
∴(a)/(4)≥1，即a≥4，
所以实数a的取值范围是[4，+∞）．