设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=13，证明：存在ξ∈（0，12），η∈（12，1），使得f′（ξ）+f′（η）=ξ2+η2．

Question

设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=(1)/(3)，
证明：存在ξ∈（0，(1)/(2)），η∈（(1)/(2)，1），使得f′（ξ）+f′（η）=ξ²+η²．

Answer 1

构造函数：F(x)=f(x)-f(1-x)-(x3)/(3)+((1-x)3)/(3)，x∈[0，1]，
则F（x）在区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，
∴由拉格朗日中值定理得：
∃ξ∈（0，1），使得：
F（1）-F（0）=F′（ξ），
又：F(1)-F(0)=2[f(1)-f(0)-(1)/(3)]，
F′（ξ）=f′（ξ）+f′（1-ξ）-ξ²-（1-ξ）²，
∴f′（ξ）+f′（1-ξ）-ξ²-（1-ξ）²=0，
即：f′（ξ）+f′（1-ξ）=ξ²+（1-ξ）²，ξ∈（0，1），
令：η=1-ξ，则：η∈（0，1），
则：ξ和η中，一个在（0，(1)/(2)），另一个在（(1)/(2)，1），
不妨设ξ∈（0，(1)/(2)），η∈（(1)/(2)，1），
则：f′（ξ）+f′（η）=ξ²+η²，证毕．