请教一道高数证明题?设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1).证明：对自然数n>=2,必有m属于（0,1）,使得f(m)=f(m+1/n).第一位给出的证明好象有问题嘛?

Question

请教一道高数证明题?
设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1).证明：对自然数n>=2,必有m属于（0,1）,使得f(m)=f(m+1/n).
第一位给出的证明好象有问题嘛?

Answer 1

证明：将m改为x,设F(x) = f(x)-f(x+1/n)
因为f(x)在[0,1]上连续,所以F(x)在[0,1]上连续,得：
F(0) = f(0)-f(1/n)
F(1/n) = f(1/n)-f(2/n)
F(2/n) = f(2/n)-f(3/n)
……
F(n-2/n) = f(n-2/n)-f(n-1/n)
F(n-1/n) = f(n-1/n)-f(1)
将上面n个式子相加,得：F(0)+F(1/n)+……+F(n-1/n)=f(1)-f(0)=0(*)
所以由（*）式可知：必存在a,b属于（0,1）,使得F(a)*F(b)