已知f(x)=log2[(x+2)],且f(0),f(2),f(6)成等差数列若a,b,c是互不相等的正数,且a,b,c成等比数列,证明f(a)+f(c)>2f(b)

Question

已知f(x)=log2[(x+2)],且f(0),f(2),f(6)成等差数列
若a,b,c是互不相等的正数,且a,b,c成等比数列,证明f(a)+f(c)>2f(b)

Answer 1

证：由a,b,c是互不相等的正数,且a,b,c成等比数列得：b^2=ac
f(a)+f(c)=log2(a+2)+log2(c+2)=log2(ac+2a+2c+4)=log2[b^2+2(a+c)+4]>log2(b^2+4√2b+4)>log2(b^2+4b+4)=2log(b+2)=2f(b).所以得证.