f（x）在[0,1]连续,在（0,1）可导.f（0）=0,f（1）=1.证明存在两点a,b属于（f（x）在[0,1]连续,在（0,1）可导.f（0）=0,f（1）=1.证明存在两点a,b属于（0,1）,使得1/f'（a）+1/f'（b）=2

Question

f（x）在[0,1]连续,在（0,1）可导.f（0）=0,f（1）=1.证明存在两点a,b属于 （
f（x）在[0,1]连续,在（0,1）可导.f（0）=0,f（1）=1.证明存在两点a,b属于
（0,1）,使得1/f'（a） +1/f'（b）=2

Answer 1

由于f(0)=0,f(1)=1,且f(x)在[0,1]上连续,故根据介值定理,存在c属于(0,1),使得f(c)=1/2,.分别在[0,c]和[c,1]上使用拉格朗日中值定理,有f(c)-f(0)=1/2=f'(a)(c-0),f(1)-f(c)=1/2=f'(b)(1-c),整理得1/[2f'(a)]=c,1/[2f'(b)]=1-c,两式相加即得1/f'(a)+1/f'(b)=2.