几道高数题,1.求lim（n→∞）sin^2(∏√(n^2+n))2.设f(x)在[a,+∞）上连续,且lim(x→+∞)f(x)存在,证明f(x)在[a,+∞)上有界.3.设f(x)在[0,n](n为自然数,n≥2)上连续,f(0)=f(n),证明存在ξ,ξ+1∈[0,n],使f(ξ)=f(ξ+1)

Question

几道高数题,
1.求lim（n→∞）sin^2(∏√(n^2+n))
2.设f(x)在[a,+∞）上连续,且lim(x→+∞) f(x)存在,证明f(x)在[a,+∞)上有界.
3.设f(x)在[0,n](n为自然数,n≥2)上连续,f(0)=f(n),证明存在ξ,ξ+1∈[0,n],使f(ξ)=f(ξ+1).

Answer 1

im（n→∞）sin^2(π√(n^2+n))
=1im（n→∞）[1-cos(2π√(n^2+n)) ]/2
=1im（n→∞）cos[2π（√(n^2+n)-n+n)]
=1im（n→∞）cos[2π（√(n^2+n)-n)]cos2nπ
=1im（n→∞）cos[2π（√(n^2+n)-n)]
=1im（n→∞）cos[2πn/（√(n^2+n)+n)]
=-1}
=1
2.证明,假设f(x)在[a,+∞)上无界.
则必有：
存在x>N,使得|f(x)|>=M,（任取M非常大）
而由题意得,lim(x→+∞) f(x)存在
即有x→+∞：f(x)=A+δ（假设极限为A,δ唯无穷小)
而由假设显然M>A.
所以假设不成立.
f(x)在[a,+∞)上有界.
3.令F(x)=f(x)-f(x+1)
则F(0)=f(0)-f(1)
F(1)=f(1)-f(2)
...
F(n-1)=f(n-1)-f(n)
则F(0)+...F(n-1)=f(0)-f(n)=0
可知F(0)+...F(n-1)=0
那么只有两种情况,
1,F(0),...F(n-1)均为0,则显然f(x)-f(x+1)恒为0.
所以存在ξ,ξ+1∈[0,n],使f(ξ)=f(ξ+1).
2,F(0),...F(n-1)有正有负,只有这样代数和才为零,
则显然存在有F(m1）>0,F(m1）