设函数f（x）在x=0处的某邻域内有二阶连续导数,且f（0）不为0,f'(0)不为0,f''(0)不为0,.转下面证明,存在唯一的一组实数abc,使得当h趋向于0时,af（h）+bf（2h）+cf（3h）—f（0）是比h^2高阶的无穷小

Question

设函数f（x）在x=0处的某邻域内有二阶连续导数,且f（0）不为0,f'(0)不为0,f''(0)不为0,.转下面
证明,存在唯一的一组实数abc,使得当h趋向于0时,af（h）+bf（2h）+cf（3h）—f（0）是比h^2高阶的无穷小.

Answer 1

先根据一阶导数来表示f(h),f(2h),f(3h)
在(0,h）上,根据导数定义,有 [f(h)-f(0)]/(h-0)=f'(0) 即 f(h) = f(0)+hf'(0)
在(h,2h)上 有[f(2h)-f(h)]/(2h-h)=f'(h) 可得f(2h) = f(h)+ hf'(h) = f(0) + hf'(0) + hf'(h)
在(2h,3h)上 可得f(3h) = f(2h) +hf'(2h) = f(0) + hf'(0) + hf'(h) + hf'(2h)
代入原式会发现除了常数f(0),f'(0)还有与h相关的变量f'(h)和f'(2h)
再通过二阶导数来表示f'(h)和f'(2h)
在(0,h）上 有 f'(h) = f'(0) + hf''(0)
在(h,2h)上 有 f'(2h) = f'(h) + hf''(h) = f'(0) + hf''(0) +hf''(h)
通过三阶导数来表示f''(h)
f''(h) = f''(0) + hf'''(0)
这样代入原式,整理后得到
(a+b+c-1)×f(0) + (a+2b+3c)×f'(0)×h + (b+3c)×f''(0)×h^2 + c×f''(0)×h^3
为了保证这个式子是比h^2高阶的小量,常数项,一次项,二次项系数均为0
a+b+c-1 = 0
a+2b+3c = 0
b+3c = 0
解得 a=3 b=-3 c=1