f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈（0,1）时,f(x)=2^x/(4^x+1),则f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈（0,1）时,f(x)=2^x/(4^x+1).求（1）求f（x）在（-1,1）上的解析式（2）证明f（x）在（0,1）上是减函数

Question

f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈（0,1）时,f(x)=2^x/(4^x+1),则
f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈（0,1）时,f(x)=2^x/(4^x+1).求
（1）求f（x）在（-1,1）上的解析式
（2）证明f（x）在（0,1）上是减函数

Answer 1

（1）：因为f(x)是定义在R上的奇函数
所以当x∈(-1,0)时：
-f(-x)=-[(2^x)/(4^x+1)]
因为-x∈(0,1)
所以当x∈(0,1)时
f(x)=-[(2^x)/(4^x+1)]
所以f（x）在（-1,1）上的解析式一共分三段:
当x∈（0,1）时：f(x)=2^x/(4^x+1)
当x=0时,f(x)=0
当x∈（-1,0）时:f(x)=-[(2^x)/(4^x+1)]
(2),设X1,X2属于（－1,0）,且X1＞X2
所以f（X1）－f（X2）＝)=-[(2^X1)/(4^X1+1)] +2^X2/(4^X2+1)
上式化简后式子比较复杂,在这里就不写了,你自己算算,不懂问我.
可以算出：
f（X1）－f（X2）＞0
所以f(x)在(-1,0)上是增函数
因为f(x)是定义在R上的奇函数
所以f（x）在（0,1）上是减函数