如果满足：对于任意x∈D,存在常数M大于0,均有f（x）的绝对值≤M成立,则称f（x）是D上的有界函数.其中M如果满足：对于任意x∈D，存在常数M大于0，均有f（x）的绝对值≤M成立，则称f（x）是D

Question

如果满足：对于任意x∈D,存在常数M大于0,均有f（x）的绝对值≤M成立,则称f（x）是D上的有界函数.其中M
如果满足：对于任意x∈D，存在常数M大于0，均有f（x）的绝对值≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数。其中M称为f（x）的上界，已知f（x）=1+a*（0.5）^x+0.25^x
g（x）=（1-m*2^x）/（1+m*2^x）
（1）当a=1时求f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由。
（2）若f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围。

Answer 1

（1）:当a=1时f（x）=1+（0.5）^x+0.25^x 在（-∞,0）上（0.5）^x>1,0.25^x>1,且在（-∞,0）上是递减函数.所以值域为（3,+∞） 显然不是上界函数.证明：对于任意M,欲使f（x）>M 即 1+（0.5）^x+0.25^x>M 化简为[（0.5）^x]² +（0.5）^x+1-M>0 这是一元二次方程,很容易看出在（-∞,0）内有解.
（2）：若f（x）在[0,+∞）上是以3为上界的有界函数,所以f（x）=1+a*（0.5）^x+0.25^x≤3化简为t²+at-2≤0其中t=（0.5）^x 又f（x）是在[0,+∞）上,所以0＜t≤1 已知t²+at-2 开口向上,且过点（0,-2）所以只需当t≤1,t²+at-2≤0即可.解得a≤1