变上限积分求导f(x)=∫(0,x)(x-t)^2*f(t)dt如何对x求导?原题：函数f(x)满足∫(0,x)(x-t)^2*f(t)dt=(sinx)^2，求∫(0,x)f(t)dt和∫(0,x)t*f(t)dt的表达式

Question

变上限积分求导
f(x)=∫(0,x)(x-t)^2*f(t)dt如何对x求导?
原题 ：函数f(x)满足∫(0,x)(x-t)^2*f(t)dt=(sinx)^2，求∫(0,x)f(t)dt和∫(0,x)t*f(t)dt的表达式

Answer 1

如果同时有x和t,要提出来先
f(x)=∫(0,x)(x^2-2xt+t^2)*f(t)dt
=x^2∫(0,x) f(t)dt -2x ∫(0,x)t*f(t)dt+∫(0,x)t^2*f(t)dt
然后积法则,而且[∫(0,x) f(t)dt]' =f(x)
f'(x)= 2x∫(0,x) f(t)dt+x^2*[f(x)] -2 [∫(0,x)t*f(t)dt+x*xf(x)]+x^2*f(x)
=2x∫(0,x) f(t)dt-2∫(0,x)t*f(t)dt
f''(x)=2∫(0,x) f(t)dt+2x*f(x)-2xf(x)
=2∫(0,x) f(t)dt
∫(0,x) f(t)dt=f''(x)/2
∫(0,x)t*f(t)dt=x∫(0,x) f(t)dt-f'(x)/2
=xf''(x)/2-f'(x)/2