高三数学题已知a＞0,函数f(x)=x－ax^-inx..(1)若f(x)是单调函数,求实数a的取值范围,(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明,f(x1)+f(x)2＞3-2in2.

Question

高三数学题
已知a＞0,函数f(x)=x－ax^-inx..
(1)若f(x)是单调函数,求实数a的取值范围,
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明,f(x1)+f(x)2＞3-2in2.

Answer 1

（Ⅰ）f(x)＝－lnx－ax2＋x,
导函数g(x)＝－ 1/x－2ax＋1＝－（2ax＋1/x）＋1
根据基本不等式得 g（x）≤－2根号（2a）＋1
∵f (x)单调
∴上式小于等于0
∴a∈[ 1/8,＋∞)．
当0＜a＜ 1/8时,方程2ax2－x＋1＝0有两个不相等的正根x1,x2,
不妨设x1＜x2,
则当x∈(0,x1)∪(x2,＋∞)时,f(x)＜0,当x∈(x1,x2)时,f(x)＞0,
这时f(x)不是单调函数．
综上,a的取值范围是[ 1/8,＋∞)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,当且仅当a∈(0, 1 8)时,f(x)有极小值点x1和极大值点x2,
且x1＋x2＝12a,x1x2＝12a．
f(x1)＋f(x2)＝－lnx1－ax21＋x1－lnx2－ax22＋x2
＝－(lnx1＋lnx2)－ 1 2(x1－1)－ 1 2(x2－1)＋(x1＋x2)
＝－ln(x1x2)＋ 1 2(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋14a＋1．
令h(a)＝ln(2a)＋14a＋1,a∈(0, 1 8],
则当a∈(0, 1 8)时,h'(a)＝ 1/a－14a^2＝4a－14a^2＜0,h(a)在(0, 1/8)单调递减,
所以h(a)＞g( 1/8)＝3－2ln2,即f(x1)＋f(x2)＞3－2ln2．