对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）若f（x）=2x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f

Question

对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（Ⅰ）若f（x）=2^x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
注：函数y＝x+(1)/(x)在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．

Answer 1

（Ⅰ）根据局部奇函数的定义，存在x∈[-1，1]，使f（-x）=2^-x+m=-2^x-m；
∴m＝−(1)/(2)(2x+(1)/(2x))，令g（x）=2x+(1)/(2x)，则g′（x）=2xln2(1−(1)/(22x))；
∴-1≤x＜0时，(1)/(4)≤22x＜1，1＜(1)/(22x)≤4，∴1−(1)/(22x)＜0，g′（x）＜0；
0＜x≤1时，1＜22x≤4，(1)/(4)≤(1)/(22x)＜1，∴1−(1)/(22x)＞0，g′（x）＞0；
∴g（0）=2是g（x）在[-1，1]上的最小值，又g（-1）=g（1）=(5)/(2)，所以g（x）的最大值是(5)/(2)；
∴2≤g(x)≤(5)/(2)，∴1≤(1)/(2)(2x+(1)/(2x))≤(5)/(4)，∴−(5)/(4)≤m≤−1；
即实数m的取值范围为[−(5)/(4)，−1]；
（Ⅱ）根据局部奇函数的定义知，存在x∈R，使f（x）+f（-x）=0；
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0；
令2^x+2^-x=n（n≥2），则：n²-2mn+2m²-8=0，可将该式看成关于n的方程，n在[2，+∞）有解；
∴n＝m±√(8−m2)，m∈[−2

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