已知f（x）=ex-ax2，g（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≥x+（1-x）•ex在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．

Question

已知f（x）=e^x-ax²，g（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≥x+（1-x）•e^x在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=e^x-ax²，g（x）=f'（x）=e^x-2ax，g'（x）=e^x-2a，
当a≤0时，g'（x）>0恒成立，g（x）无极值；
当a>0时，g'（x）=0，即x=ln（2a），
由g'（x）>0，得x>ln（2a）；由g'（x）<0，得x所以当x=ln（2a）时，有极小值2a-2aln（2a）．
（Ⅱ）f（x）≥x+（1-x）e^x，即e^x-ax²≥x+e^x-xe^x，即e^x-ax-1≥0，
令h（x）=e^x-ax-1，则h'（x）=e^x-a，
当a≤1时，由x≥0知h'（x）≥0，∴h（x）≥h（0）=0，原不等式成立，
当a>1时，h'（x）=0，即x=lna，h'（x）>0，得x>lna；h'（x）<0，得x所以h（x）在（0，lna）上单调递减，
又∵h（0）=0，∴a>1不合题意，
综上，a的取值范围为（-∞，1]．