已知e为自然对数的底数，函数f（x）=ex-e-x+ln（x2+1+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（-e）-f′（-e）=．

Question

已知e为自然对数的底数，函数f（x）=e^x-e^-x+ln（ √(x2+1)+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（-e）-f′（-e）=___．

Answer 1

f（x）=e^x-e^-x+ln（√(x2+1)+x）+1，
令g（x）=f（x）-1=e^x-e^-x+ln（√(x2+1)+x），
则g（-x）=f（-x）-1=e-x-ex+ln(√(x2+1)-x)，
g（x）+g（-x）=0，故g（x）为奇函数，
g′（x）=f′（x）=ex+e-x+(1)/(√(x2+1)+x)•((x)/(√(x2+1))+1)=ex+e-x+(1)/(√(x2+1))，
由g′（x）-g′（-x）=ex+e-x+(1)/(√(x2+1))-e-x-ex-(1)/(√(x2+1))=0，
可知g′（x）=f′（x）为偶函数，
g（e）+g（-e）=f（e）-1+f（-e）-1=0，
∴f（e）+f（-e）=2．
又f′（e）=f′（-e），
∴f′（e）-f′（-e）=0，
∴f（e）+f′（e）+f（-e）-f′（-e）=2．
故答案为：2．