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(2002•浙江)如图,已知半圆O的直径AB=10,⊙O1与半圆O内切干点C,与AB相切干点D,(1)求证:CD平分∠ACB;(2)若AC:CB=1:3,求△CDB的面积S△CDB;(3)设AC:CB=x(x>0),⊙O1的半径为y
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(1)求证:CD平分∠ACB;
(2)若AC:CB=1:3,求△CDB的面积S△CDB;
(3)设AC:CB=x(x>0),⊙O1的半径为y,请用含x的代数式表示y.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:过点C作两圆外公切线MN;
∵AB与⊙O1相切于点D,
∴∠MCD=∠ADC,∠MCA=∠ABC.
∵∠MCD=∠MCA+∠ACD,
∠ADC=∠ABC+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCD,即CD平分∠ACB.
(2)∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,AC2+CB2=AB2,即AC2+CB2=100
已知AC:CB=1:3,
解得AC=
,CB=3
;
S△ACB=
AC•CB=
•
•3
=15
=3
∴S△CDB=
.
(3)已知AC:CB=x,AC2+CB2=100解得
AC=
,CB=
,
过点C作CE⊥AB交AB于点E,S△ABC=
AB•CE,
解得CE=
(x>0).
连接OO1并延长,则必过切点C,连O1D,则O1D⊥AB,
∴CE∥O1D,
∴
=
.
y=
(x>0).

∵AB与⊙O1相切于点D,
∴∠MCD=∠ADC,∠MCA=∠ABC.
∵∠MCD=∠MCA+∠ACD,
∠ADC=∠ABC+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCD,即CD平分∠ACB.
(2)∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,AC2+CB2=AB2,即AC2+CB2=100
已知AC:CB=1:3,
解得AC=
10 |
10 |
S△ACB=
1 |
2 |
1 |
2 |
10 |
10 |
S△CDB |
S△CDA |
∴S△CDB=
45 |
4 |

AC=
10x | ||
|
10 | ||
|
过点C作CE⊥AB交AB于点E,S△ABC=
1 |
2 |
解得CE=
10x |
x2+1 |
连接OO1并延长,则必过切点C,连O1D,则O1D⊥AB,
∴CE∥O1D,
∴
CE |
y |
5 |
5−y |
y=
10x |
(x+1)2 |
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