已知，在△ABC中，CA=CB=10cm，O为AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，且∠EOF=2∠A．（1）若∠A=45°．①如图（1），连接OC，当E、F分别在线段AC、BC上时，求证：△COE≌△BOF；②如图（2），当E、

Question

已知，在△ABC中，CA=CB=10cm，O为AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，且∠EOF=2∠A．
（1）若∠A=45°．
①如图（1），连接OC，当E、F分别在线段AC、BC上时，求证：△COE≌△BOF；
②如图（2），当E、F分别在AC延长线上和CB延长线上时，求CF-CE的值；
（2）如图（3），若∠A=30°，且E、F分别在AC延长线上和线段BC上，试说明CF与CE满足怎样的关系式．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

Answer 1

（1）证明：连接CO．
∵CA=CB，∠A=45°
∴∠A=∠B=45°，∠ACB=90°，
∵AO=OB，
∴OC=OA=OB，∠ACO=∠BCO=45°，CO⊥AB，
∵∠EOF=2∠A=90°，∠COB=90°，
∴∠EOF=∠COB，
∴∠EOC=∠BOF，
在△EOC和△FOB中，

∠ECO=∠B

CO=OB

∠EOC=∠FOB

，
∴△EOC≌△FOB．
（2）如图2中，连接CO，∵∠ACO=∠ABC=45°，
∴∠ECO=∠OBF=135°，
∵∠COB=∠EOF=90°，
∴∠COE=∠BOF，
在△EOC和△FOB中

∠ECO=∠B

CO=OB

∠EOC=∠FOB

，
∴△EOC≌△FOB．
∴EC=BF，
∴CF-EC=BC+BF-EC=BC=10cm．
（3）在CF上截取CM=CO，连接OM．
∵CA=CB，∠A=30°，
∴∠A=∠B=30°，∠ACB=120°，
∵AO=OB，
∴∠ACO=∠BCO=60°
∴∠ECB=180°-∠ACB=60°，
∵∠EOF=2∠A=60°，
∴∠ECF=∠EOF，
∴E、C、O、F四点共圆，
∴∠OEF=∠OCB=60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴OE=OF，
∵OC=CM，∠OCM=60°，
∴△COM是等边三角形，
∴∠COM=60°=∠EOF，OC=OM=CM，
∴∠COE=∠MOF，
在△COE和△MOF中，

CO=OM

∠COE=∠MOF

OE=OF

，
∴△COE≌△MOF，
∴CE=MF，
∴CF-CE=CM+MF-CE=CM=CO，
在RT△ACO中．∵AC=10，∠A=30°，
∴CO=(1)/(2)AC=5，
∴CF-CE=5．