（2013•杨浦区二模）如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当tanA＝12时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP=x，Q

Question

（2013•杨浦区二模）如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．
（1）当tanA＝(1)/(2)时，求AP的长；
（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP=x，QP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当tanA=(4)/(3)时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．

Answer 1

（1）如图1，过点P作PB⊥OA交AO的延长线于B，连接OP，设PB=a，
∵tanA=(1)/(2)，
∴AB=2a，
∴OB=AB-OA=2a-3，
在Rt△POB中，PB²+OB²=OP²，
即a²+（2a-3）²=3²，
解得a₁=(12)/(5)，a₂=0（舍去），
∴AB=2×(12)/(5)=(24)/(5)，
在Rt△ABP中，AP=√(PB2+AB2)=√(((12)/(5))2+((24)/(5))2)=(12√(5))/(5)；

（2）连接OP、OQ，则AO=PO，PQ=OQ，
∴∠P=∠A，∠POQ=∠P，
∴∠P=∠POQ=∠A，
∴△AOP∽△PQO，
∴(QP)/(OP)=(OP)/(AP)，
即(y)/(3)=(3)/(x)，
整理得，y=(9)/(x)，
∵⊙O的半径为3，点P不同于点A，
∴3＜x≤6；
∴y=(9)/(x)（3＜x≤6）；

（3）过点O作OC⊥AP于C，
∵tanA=(4)/(3)，
∴设OC=4b，AC=3b，
在Rt△AOC中，OC²+AC²=OA²，
即（4b）²+（3b）²=3²，
解得b=(3)/(5)，
∴OC=4×(3)/(5)=