设a，b均为正数，（Ⅰ）求证：ab≥21a+1b；（Ⅱ）如果依次称a+b2、ab、21a+1b分别为a，b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数．如右图，C为线段AB上的点，令AC=a，CB=b，O为AB的垂线交半

Question

设a，b均为正数，
（Ⅰ）求证：√(ab)≥(2)/((1)/(a)+(1)/(b))；
（Ⅱ）如果依次称(a+b)/(2)、√(ab)、(2)/((1)/(a)+(1)/(b))分别为a，b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数．如右图，C为线段AB上的点，令AC=a，CB=b，O为AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，请分别用图中线段的长度来表示a，b两数的几何平均数和调和平均数，并说明理由．

Answer 1

（I）证明：由于a，b均为正数，根据基本不等式，可得((1)/(a)+(1)/(b))/(2)≥√((1)/(a)×(1)/(b))=(1)/(√(ab))，即√(ab)≥(2)/((1)/(a)+(1)/(b))，
当且仅当a=b时，等号成立．
（II）在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD²=AC•CB，
∴CD=√(ab)，即CD长度为a，b的几何平均数，
在直角三角形OCD中，由射影定理可得CD²=DE•OD，
∴DE=(DC2)/(OD)=(ab)/((a+b)/(2))=(2)/((1)/(a)+(1)/(b))，由DC≥DE，得√(ab)≥

作业帮用户 2016-11-29