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(2006•宁波)已知⊙O过点D(4,3),点H与点D关于y轴对称,过H作⊙O的切线交y轴于点A(如图1).(1)求⊙O半径;(2)sin∠HAO的值;(3)如图2,设⊙O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上
题目详情
(2006•宁波)已知⊙O过点D(4,3),点H与点D关于y轴对称,过H作⊙O的切线交y轴于点A(如图1).
(1)求⊙O半径;
(2)sin∠HAO的值;
(3)如图2,设⊙O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点(与P点不重合),连接并延长DE,DF交⊙O于点B,C,直线BC交y轴于点G,若△DEF是以EF为底的等腰三角形,试探索sin∠CGO的大小怎样变化?请说明理由.
(1)求⊙O半径;
(2)sin∠HAO的值;
(3)如图2,设⊙O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点(与P点不重合),连接并延长DE,DF交⊙O于点B,C,直线BC交y轴于点G,若△DEF是以EF为底的等腰三角形,试探索sin∠CGO的大小怎样变化?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)点D(4,3)在⊙O上,
∴OD2=42+32,
∴OD=5,
∴⊙O的半径r=OD=5;(1分)
(2)如图1,连接HD交OA于Q,则HD⊥OA,连接OH,则OH⊥AH,
∴∠HAO=∠OHQ
∴sin∠HAO=sin∠OHQ=
=
;
(3)连接DH交y轴于点Q,连接OH交BC于点T(如图2).
∵D与H关于y轴对称,
∴DH⊥EF,
又∵△DEF为等腰三角形,
∴DH平分∠BDC,
∴∠BDH=∠HDC,
∴
=
,
∵HO为⊙O半径,
∴OT⊥BC,
∴∠CGO=∠QHO,
∴当E、F两点在OP上运动时,sin∠CGO的值不变.
∴OD2=42+32,
∴OD=5,
∴⊙O的半径r=OD=5;(1分)
(2)如图1,连接HD交OA于Q,则HD⊥OA,连接OH,则OH⊥AH,
∴∠HAO=∠OHQ
∴sin∠HAO=sin∠OHQ=
OQ |
OH |
3 |
5 |
(3)连接DH交y轴于点Q,连接OH交BC于点T(如图2).
∵D与H关于y轴对称,
∴DH⊥EF,
又∵△DEF为等腰三角形,
∴DH平分∠BDC,
∴∠BDH=∠HDC,
∴
BH |
CH |
∵HO为⊙O半径,
∴OT⊥BC,
∴∠CGO=∠QHO,
∴当E、F两点在OP上运动时,sin∠CGO的值不变.
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