已知抛物线y=px2+qx（其中p<0，q>0）在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S．（1）问p和q为何值时，S达到最大？（2）求此处最大值．

Question

已知抛物线y=px²+qx（其中p<0，q>0）在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S．
（1）问p和q为何值时，S达到最大？
（2）求此处最大值．

Answer 1

已知y=px²+qx在x轴的交点分别为（0，0），（-(q)/(p)，0）．
根据积分的几何意义可知：
S=

∫	-(q)/(p) 0

(px2+qx)dx=（(p)/(3)x3+(q)/(2)x2）

|	-(p)/(q) 0

=(q3)/(6q2)．
由y=px²+qx与直线x+y=5相切，因此，在切点处斜率相等，且交点满足两个方程．
因此有在交点处有：

y’=2px+q=-1

px2+qx=5-x

解得：p=-(1)/(20)(1+q)2
代入S的表达式有：
S=(q3)/(6q2)=(200q3)/(3(q+1)4)
因此：S'=(200q2(3-q))/(3(q+1)5)
令S'=0；得q=3，此时p=-(4)/(5)．
显然当q<3时，S'>0，S单调递增，当q>3时，S’<0，S单调递减．
因此：当q=3时，S取得最大值，最大值为S=(225)/(32)，此时p=-(4)/(5)．
故：当q=3，p=-(4)/(5)时，S取得最大值，最大值为(225)/(32)．