反比例函数中的面积最值问题已知:A（-3,0）,B（0,-4）,点P为双曲线y＝12/x（x＞0）上的任意一点,过P点作PC⊥x轴于C,PD⊥y轴于D,当四边形ABCD面积最小时,P点的坐标是多少?为什么?请详细说明.

Question

反比例函数中的面积最值问题
已知:A（-3,0）,B（0,-4）,点P为双曲线y＝12/x（x＞0）上的任意一点,过P点作PC⊥x轴于C,PD⊥y轴于D,当四边形ABCD面积最小时,P点的坐标是多少?为什么?请详细说明.

Answer 1

设P的坐标为（x,y） ∵x＞0∴y=12/x＞0
∴SABCD=S⊿ABC+S⊿ADC=1/2×AC×OD+1/2×AC×OB
= 1/2AC(OD+OB)=1/2AC×BD=1/2(x+3)(y+4)
=1/2(xy+4x+3y+12)
=1/2(12+4x+3y+12)
=1/2(24+4x+3y)=12+2x+3y/2
∵2x＞0,3y/2＞o且2x·3y/2=3xy=3×12=36（定值)
∴2x+3y/2≥2√(2x)(3y/2)
当2x=3y/2时上式取等号,此时四边形面积最小（12+12=24）
∴2x=3y/2,xy=12.解得x=3,y=4
∴P的坐标是（3,4）