已知三条直线L1：mx-y+m=0,L2:x-my-m(m+1)=0,L3:(m+1)x-y+(m+1)=0.:把他们围成三角形ABC,（一）,不论m取何值时,三角形总有一个顶点为定点（二）当m取何值时,三角形面积最大,最小值?并求出最大最小值

Question

已知三条直线L1：mx-y+m=0,L2:x-my-m(m+1)=0,L3:(m+1)x-y+(m+1)=0.:把他们围成三角形ABC,
（一）,不论m取何值时,三角形总有一个顶点为定点
（二）当m取何值时,三角形面积最大,最小值?并求出最大最小值

Answer 1

l1,l2交于A（-1,0）
l2,l3交于B（0,m+1）
又可以看出l1、l3垂直
角C为直角,则三角形面积S转化为1/2|AC||BC|
|BC|=(0,m+1)到l1的距离|-m+1+m|/(m2+1)^(1/2)=1/根号（m2+1）
|AC|=（-1,0）到l3的距离 |-1-m(m+1)|/根（m2+1）
=（m2+m+1）/根(m2+1)
S=1/2 (m2++m+1）/(m2+1)
S=1/2 [1+1/(m+1/m)]m
因为y=x+1/x
当x=1时,y在x>0时有最小值,所以1/(m+1/m）有最大值1/2
同理,当x=-1时,1/(m+1/m)有最小值 -1/2
所以,当x=1时,S有最大值3/4
当x=-1时,S有最小值1/4